【向量平行垂直公式】在向量运算中，判断两个向量是否平行或垂直是常见的问题。掌握相关的公式和判断方法，有助于更高效地解决几何与物理中的相关问题。以下是对向量平行与垂直的公式进行总结，并以表格形式直观展示。
一、向量平行的定义与公式
当两个向量方向相同或相反时，称这两个向量为平行向量（也称为共线向量）。
数学上，若向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$ 与 $\vec{b} = (x_2, y_2)$ 平行，则存在一个实数 $k$，使得：
$$
\vec{a} = k \cdot \vec{b}
$$
即：
$$
x_1 = k x_2,\quad y_1 = k y_2
$$
或者等价地，可以通过比例关系判断：
$$
\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} \quad (x_2 \neq 0, y_2 \neq 0)
$$
二、向量垂直的定义与公式
当两个向量的夹角为 $90^\circ$ 时，称这两个向量为垂直向量。
向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直的充要条件是它们的点积为零：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 0
$$
对于二维向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$ 和 $\vec{b} = (x_2, y_2)$，点积公式为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2
$$
因此，垂直条件为：
$$
x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0
$$
三、总结表格
| 判断类型 | 定义说明 | 公式表达 |
| 向量平行 | 方向相同或相反 | $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ 或 $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$ |
| 向量垂直 | 夹角为 $90^\circ$ | $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$ |
四、注意事项
- 向量平行不包括零向量的情况，除非特别说明。
- 零向量与任何向量都视为垂直，因为其方向不确定。
- 在实际应用中，判断向量关系时应结合具体题意和向量的方向、大小等因素综合分析。
通过掌握这些基本公式和判断方法，可以快速准确地处理向量之间的关系问题，提升解题效率。