【相关系数r的计算公式】在统计学中，相关系数（通常用r表示）是衡量两个变量之间线性关系密切程度的指标。其值范围在-1到1之间，其中：
- r = 1 表示完全正相关；
- r = -1 表示完全负相关；
- r = 0 表示无相关性。
相关系数r的计算公式是基于协方差与标准差的关系得出的，具体如下：
$$
r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum (y_i - \bar{y})^2}}
$$
其中：
- $ x_i $ 和 $ y_i $ 分别为第i个数据点的两个变量值；
- $ \bar{x} $ 和 $ \bar{y} $ 分别为变量x和y的平均值；
- 分子为x和y的协方差；
- 分母为x的标准差与y的标准差的乘积。
相关系数r的计算步骤总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 收集两组数据（x, y），并计算每组数据的平均值 $ \bar{x} $、$ \bar{y} $ |
| 2 | 计算每个数据点与平均值的差：$ x_i - \bar{x} $、$ y_i - \bar{y} $ |
| 3 | 计算每个差值的乘积，并求和：$ \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) $ |
| 4 | 计算 $ x $ 的平方差之和：$ \sum (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 5 | 计算 $ y $ 的平方差之和：$ \sum (y_i - \bar{y})^2 $ |
| 6 | 将步骤3的结果除以步骤4和步骤5结果的平方根，得到r的值 |
相关系数r的含义表格
| r值范围 | 相关性描述 | 示例情况 |
| 0.7~1 | 强正相关 | 学习时间与成绩正相关 |
| 0.3~0.7 | 中等正相关 | 广告投入与销量正相关 |
| 0 | 无相关 | 随机事件之间的关系 |
| -0.3~-0.7 | 中等负相关 | 烟草消费与健康指数负相关 |
| -0.7~-1 | 强负相关 | 温度升高与冰块融化速度正相关 |
注意事项
- 相关系数仅反映线性关系，不适用于非线性关系；
- 相关系数不等于因果关系，需结合实际背景分析；
- 数据量过小可能导致结果不可靠；
- 可使用统计软件（如Excel、SPSS、Python）进行快速计算。
通过以上方法和步骤，可以准确地计算出两个变量之间的相关系数r，从而帮助我们更好地理解数据之间的关系。