【arcsinx的积分是什么】在微积分中，求解函数的积分是常见的问题之一。对于反三角函数 $ \arcsin x $ 的积分，虽然它看起来简单，但需要一定的技巧来推导和计算。本文将对 $ \arcsin x $ 的积分进行总结，并以表格形式展示相关结果。
一、积分公式总结
$ \arcsin x $ 的不定积分可以表示为：
$$
\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C
$$
其中，$ C $ 是积分常数。
这个结果可以通过分部积分法推导得出。设 $ u = \arcsin x $，$ dv = dx $，则有：
- $ du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx $
- $ v = x $
根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
代入得：
$$
\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx
$$
接下来对第二项积分进行换元：
令 $ t = 1 - x^2 $，则 $ dt = -2x dx $，即 $ x dx = -\frac{1}{2} dt $，代入后得：
$$
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C
$$
因此，原式变为：
$$
\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C
$$
二、常见积分结果对照表
| 函数 | 不定积分 | 积分常数 |
| $ \arcsin x $ | $ x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} $ | $ C $ |
三、小结
- $ \arcsin x $ 的积分是一个典型的分部积分问题。
- 结果中包含 $ x \arcsin x $ 和一个根号表达式 $ \sqrt{1 - x^2} $。
- 在实际应用中，该积分可用于求解面积、物理模型等涉及反三角函数的问题。
通过掌握这一积分方法，可以更灵活地处理类似的反三角函数积分问题。